模擬光線的相干特性非常意義的。當用FRED模擬相干系統時，用戶應該對FRED進行相干計算的方法有一個大致的了解，它是利用高斯光束分解（GBD）的一種一般形式。本應用描述了一些在使用FRED時基本的相干建模方法和注意事項，以及一個應用于ThorLabs擴束器的相干場重新采樣特性的一個示例，最后，衍射儀用于演示一個部分相干性模型。
FRED基礎：相干性建模
FRED關于激光光束的追跡采用高斯光束分解技術（Gaussian beam decomposition，GBD）來傳輸相干場，最早由Arnaud 在1969年提出，是一組高斯光束子波(beamlet)可以合成任意的復數場。傳統的GBD方法局限在兩種極端情況下，一種是空間分解法，子波均勻分布在格子點上，另一種是傅里葉分解，根據空間頻率譜分解為在一個空間位置具有不同相位和方向的子光束。對此，Gabor對Arnaud的方法進行了擴展，并用在FRED中，允許這兩種方法結合起來以一種更加靈活的方式來拓寬使用條件。
在FRED中，由高斯子光束的疊加來描述光的的傳播。中心的“Base”光線代表著子光束的傳輸軌跡，額外的二級“束腰”和“發散”光線記錄子光束參數的變化。子光束和它對應的光線的關系如下圖所示。當子光束經過折射、反射和衍射，這些光線完全描述了該子光束特性，因此這個過程被稱為“complex raytracing.”。在系統中的任何平面，通過確定在分析面上的每個位置處每個子光束的貢獻和對相位的比例來計算相干場。
因為它們是高斯型的，子光束服從與遠場發散半角θ和最小束腰半徑ω0有關的方程（其中λ是波長，n是介質的折射率）：
(1)
子光束的半徑
在傳播過程中變化，與束腰光線高度hw和發散光高度hd有關：
(2)
其中光線高度相對于Base ray。
為使模型變得精確，它們必須要保持高斯型并遵循近軸近似，這是相干光線追跡中最重要的考慮因素。嘗試在近軸限制之外操作高斯子光束傳播會使準確性大打折扣。二級光線未能保持與它們的Base Rays好的相關性可能會導致相干光誤差和錯誤的輻照度計算。
雖然沒有精確的定義，近軸近似可以使用至少兩種形式描述：
。在這兩種情況中，對于 一個合適的選擇是0.1弧度，大約為6度。根據公式1，近軸近似最明顯的隱意是子光束的束腰半徑ω0必須大于等于3 。在實際使用中，用戶應該考慮具有一定余量的操作，可能是5-10 。通過追跡二級光線并計算光學不變量H’nU - HnU’（其中H是光線高度，n是材料折射率，U是
），FRED記錄了子光束的相位。如果對于一個給定的相干光線不變量超出了 ，則用于計算的光線會被告知無效。不變量作為一個內部尺度，告訴了子光束的好壞程度。
當定義好一個相干光源，FRED設置了一個光線網格，并使用網格間距 （這是網格的寬度 被穿過網格的光線數 劃分所得），和一個光束重疊因子（OF）來設置子光束的束腰半徑 ，如方程3和4所示。隨機光線網格不應該被用于相干源，因為網格間距不均衡，將會產生不同的束腰半徑。對于網格寬度和光線數中的x和y值可單獨控制。在FRED追跡光線的
點處，子光束的束腰半徑是：
(3)
使用更常見的
束腰半徑慣例增加了一個額外的因素，
(4)
重疊因子是在網格上相鄰子束之間的部分重疊，并具有1.5的默認值（很少改變）。因此，要保持 的近軸限制內，對于可見光（λ=0.5 μm），網格間距應該是
，一個更加合理的范圍為5-10μm。
鎖定FRED特點：相干場重采樣
有某些情況下，當使用正確定義的相干光源仍然會導致相干光線的錯誤。在這個例子中，一個Thorlabs 5倍擴束器（BE05M）用來演示FRED的相干光場重采樣特征，以及其他一些有用的工具。
通過導入由Thorlabs提供的CAD文件，并且用FRED自帶的透鏡元件及光學特性來代替光學CAD部分，我們可以在FRED中模擬擴束器。圖2顯示了使用3D剖面圖顯示系統布局。
圖2 一個Thorlabs 5倍擴束器的FRED模型。FRED的3D剖面圖用于顯示外殼的內部構造。
相干光源定義
在FRED中有一些默認的光源，包括平行光源，點光源，高斯TEM00模激光束和激光二極管光束。相干的高斯He-Ne激光束用于這個例子。一個高斯光束的輸入參數有光束大�。ㄊ肟讖剑�、網格大�。ㄔ诓蓸悠矫嫣幍难堪肟讖剑┖驼麄�平面上點的數目。一個好的經驗法則是設定光束大�。ㄊ霃剑榫W格尺寸的一半。在這個例子中，光束被定義為圓形，在2mm*2mm的每個方向有41條光線穿過的網格上（W），束腰半徑是0.5mm（直徑1mm）。這是一個完全有效的相干光源定義。它的子光束有大約41.7μm的束腰半徑，遠大于6.328μm的10 邊界；同時有0.28°的發散角（ ），遠小于6°的近軸限制。
在 點（方程4）處的束腰半徑是：
子光束發散角為：
高斯光線尺寸點列圖工具
FRED的高斯光線尺寸點列圖工具對于檢驗高斯子光束特性、可視化二級光線位置和診斷相干光線的錯誤非常有用。該工具利用對應的1/e2橢圓來繪制基準光線。盡管沒有明確繪制，二級束腰光線沿著該橢圓一般有4個，在 和 方向。FRED在高斯光線尺寸點圖中繪制了一個1/e2束腰光線橢圓，但是在光線追跡中使用了沿著稍小的1/eπ/2橢圓的二級光線。圖3顯示了在兩個位置處激光光源的高斯點圖：(a)在光源處，(b)在下游的650mm處�；鶞使饩�是完全準直的，但激光光束本身是發散的，這可以通過注意1/e2橢圓（在這種情況下圓形）已傳播650毫米后尺寸的增加來觀察。
圖3 高斯光線尺寸點列圖，放大的中心用以顯示細節。(a)在光源位置。(b)當光束傳播了650mm后，輪廓如最右邊的子光束�；鶞使饩�準直，二次光線發散。
假設擴束器是光學系統的一部分，它需要第一表面距離激光源650毫米。一個例子是馬赫澤德干涉儀，在其臂處有不同的光束尺寸，如圖4所示。
圖4 馬赫澤德干涉儀的FRED模型，在一個臂處有擴束器。
仔細觀察圖3b，發現子光束輪廓直徑大約是6mm。擴束器的發散透鏡只有5mm的直徑。因此推斷二級光線被略去的似乎是合理的，但情況并不是這樣的。復合光線追跡的基本準則之一是：如果基準光線與一個表面相交，然后所有它的二級光線一定與同樣的表面相交。通過在數學上延展表面與每個二級光線相交，如圖5所示，FRED強制執行該準則。當執行光線追跡時，所有的光線通過該表面。
圖5 光學表面的數學延伸算法，用于與不和實際表面相交的二級光線相交。
有三種類型的相干光線的錯誤（在下面的部分中討論），如果它是不能正確地傳播的光線，在光線追跡后，FRED只顯示了一個警告。就好像如果它無法在數學上延伸必要的表面，它就會發生。在執行分析時，另外兩個相干光線錯誤只會產生一次警告。在擴束器的情況下，該追跡的光線沒有錯誤或警告，這是由于透鏡的球面很容易擴展。但是當執行分析時，問題升級了，因為二級光線不再與基準光線良好相關，子光束從完美的高斯型變成了過于發散。
光線狀態
FRED的光線狀態工具處理問題非常方便，如該擴束器模型，其中有一個問題，但細節和原因還不清楚。光線狀態會輸出目前系統中所有光線的狀態，如圖6所示。有三種類型的相干光線錯誤：
1.相干二級光線追跡錯誤（Coherent secondary ray raytrace errors:）：這表明，在光線追跡的過程中，發生了一些事件阻止了所有光線被正確追跡。在光線追跡完成后，描述了特定問題的一個警告呈現在輸出窗口的光線追跡摘要中。舉個例子，如果一個基準光線穿過了一個球透鏡，但是二級光線與該透鏡沒有相交，延伸光學表面使得二級光線產生相交是不可能的，然后FRED會輸出如下的消息：“Rays halted because unable to complete coherent secondary ray intersection(warn: 18)”。
2. 相干二級光線不變量違規(Coherent secondary ray invariant violations)：當子光束偏離高斯光束太遠，這個錯誤就會產生。當光線追跡完成時，沒有錯誤或警告，嘗試分析時會產生一次。
3. 相干光線高斯指數衰減違規（Coherent ray Gaussian exponential decay violations）：此錯誤非常類似于前一個，但表示該子光束已經變得太發散。直到嘗試分析時，才會報告一些錯誤或警告。
在擴束器的例子中，所有1313條光線違反二級光線不變量和高斯指數衰減，因此是無效的。如圖6所示，概要顯示了在光線追跡過程中可能產生的錯誤，這在對系統進行故障排除時作為切入點是很有用的。
圖6 輸出窗口顯示了光線狀態概中相干光線錯誤要結果
相干場重新采樣
相干光場重采樣特征可以用來解決相干光線的錯誤，通過計算和產生一組新的在擴展空間區域重現當前標量場相干光線。新光線歸納起來產生相同的場，但新合成的子光束重新定義了束腰和發散角。這類似于產生具有性能良好的子光束的一個全新的光源。面積、像素大小和重新采樣網格的位置由一個分析表面實體指定。這些參數，就像是光源創建網格，決定了子光束的屬性。因此，在定義一個光源時，關于像素尺寸和間距應該有相同的考慮。相干光場重采樣執行以下操作：波前計算，任何球形和傾斜項的去除，光場的重新采樣，球面和傾斜項的合并，在分析表面上每個像素的中心創建一個新的子束來再現原始光場。相干光場重新采樣對話窗口如圖7所示。
在此擴束器的例子中，光場的重新采樣就在與原始光源具有相同的光束參數的第一個（發散）透鏡的前面，因為它已經確定該束腰和發散是合理的。我們創建了比發散透鏡（半孔徑2mm）的尺寸略小的分析面，調整分割數來產生于初始光源（73）相同的束腰。這種調整是有必要的，因為初始光源是定義在圓形網格上，而新的光場是定義在方形分析表面上。
使用高級光線追跡功能，追跡從光源到第一個透鏡的光線，該功能可以在光線追跡的過程中實現精確的控制，包括在特定的平面上停止光線追跡。然后光場可以被重新采樣(Raytrace > Spatially Resample Scalar Field…)，刪除現存的光線，并用新定義的光線替換它們。重新采樣場應該與初始場相同，唯一的不同是用于定義它的光線。然后使用Trace Existing Rays或Trace and Render Existing命令，追跡系統剩余部分的光線。
圖7 光場重新采樣功能對話框
除了解決相干光線錯誤，相干光場重采樣也可以在一個表面欠采樣是的情況下使用。例如，如果擴束軌跡長度很大，第二透鏡將滿溢和欠采樣，如圖8所示。因為前面所描述的最小網格尺寸的限制，從而增加源光線的數量不是一個合適的解決方案。相干光場重采樣特性可用于在第二透鏡處重現光場，并合成具有透鏡的足夠空間采樣的新光線網格。
圖8 大倍率遠焦望遠鏡致使第二透鏡的欠采樣。
相干標量場分析
新光線合成之后，它們可以通過系統被追跡，而沒有相干光線錯誤，所得到的場可以分析。相干光場的能量、相位和波前可以用相干標量場分析工具進行研究。圖9顯示了具有用紅色框出的可用繪圖選項的標量場菜單。它也給出了用于顯示和輸出圖像、縮放數據、平滑和修改圖像數據、顯示圖像統計和執行一個傅立葉變換的選項。圖10顯示了在擴束器輸出處的場能量、相位和波前。
圖9 當右鍵點擊圖像時顯示的標量場分析菜單，紅框顯示為可用繪圖。
圖10 FRED輸出圖像，顯示a)場能量、b)場相位、c)波前
FRED中部分相干性示例：衍射儀
用FRED可以模擬部分相干光源，通過集相干的點源為一體，每一個都具有不同的空間位置和波長。在FRED部分相干的建模被限制在特殊情況下，這樣的定義才是有效的。
類似上述的一個例子是衍射儀，可用于測量光源的空間相干性的干涉儀。本例是基于由Thompson和Wolf[1]描述的設置，如圖11所示。一個擴展的非相干的光源 ，通過一個透鏡 成像，聚焦到一個小孔 上。由 產生的光經過 準直和 聚焦到平面F上。含有兩個小孔 和 的不透明的屏A位于 和 之間�？讖娇梢允侨我獾某叽绾托螤�，可以放置在平面A上的任何位置。
圖11 衍射儀
圖11的輪廓斷面可以在FRED中通過在小孔
上不同波長、隨機位置的點光源的聚集來建模。如果波長在一個小的帶寬內，這一光源的聚集滿足一個由Born & Wolfe [2]給出的準單色光的定義。對于這個例子，使用了在0.579±0.002μm內的波長。光源的每個波長分量在平面F上獨立生成一個干涉圖樣。FRED歸納了相同波長的相干性和不同波長非相干性。因此，在平面F上總輻照圖案是每個波長獨立相干成分的非相干總和。
因為只有小部分光線通過了小孔p1和 p2，所以上面描述的光線追跡是非常低效的。一個可以獲得相同結果的更加高效的方法是在透鏡 前面定義兩個光線的圓形網格。光線網格應類似于兩個小孔（在x-y平面上有相同的間隔和位置），但尺寸稍大，以確保光線溢出小孔。兩個圓形光源的光線方向被指定為從孔徑 內的隨機位置始發。FRED有一個選項用于指定光線的方向，稱為Focus to/from a point，這會產生由用戶定義的聚焦到一個點或從一個點出發的光線。這兩個光源都在以稍有不同的波長處創建了許多次，每一組網格定義成在 孔徑的隨機位置出發。圖12顯示了兩組光源，有延伸回到所述孔徑的光線和一個有限數量的光線，以幫助展示光源的創建�？偨Y這一過程，孔徑 中的一個隨機位置被選擇。兩個光源分別對應于小孔 和 （組成光源集），就定義在第一個透鏡前面。對于兩個光源的光線方向，指定為起源于所選擇的隨機位置。然后選擇另一個位置，創建兩個或更多的對應光源。對于許多光源，重復這一過程。在本例中，使用一個內置腳本創建了75組這樣的光源。目標是在小帶寬內的任意位置和波長處，仿真許多點光源，它們已經傳播到剛好在 前面的兩個區域，這樣它們就覆蓋了小孔 和 。圖13顯示了衍射儀的FRED模型。在第一個透鏡前面創建了光線，但是它們已經擴展到 便于視覺表現。這一選項叫做Post-Creation Ray Propagation，在像這樣的情況下是有用的，它有助于可視化實際上不存在的光線。
圖12 創建的兩組光源類似于兩個小孔，光線方向從左側的孔徑的隨機位置過來。不顯示透鏡是因為便于小孔的顯示。
圖13 衍射儀FRED模型。通過變形三維視圖（Anamorphic 3D View. Anamorphic 3D View.），系統已縮小Z方向以提供整個系統的視圖。
根據van Cittert-Zernike理論，1934年經P.H. van Cittert獨立發展，后來到1938年又由F. Zernike發展，在
處的光源聚集提高了屏A上任意兩點p1和p2處場的相關性。van Cittert-Zernike理論建立了部分相干的復雜度如：
(4)
其中
(5,6)
J1是一階第一類貝塞爾函數， p是小孔
的半徑，d是p1和p2之間中心-中心距離，R是 的焦距長度，r1和r2是p1和p2偏離光軸的距離，
是平均波長。
的振幅被稱為空間相干度
。
我們調查了小孔間距d對空間相干度
的影響。在仿真中使用了以下的值： p=0.045mm，R=1505.6 mm， r1=r2=0（在軸上），
=0.579μm。
對d的依賴性是振蕩的，這是由于如圖14所示的貝塞爾函數。對于四個小孔間距（在圖14中通過點標記），通過FRED建模，它們在平面F上的干涉圖樣顯示在圖15中。FRED的仿真結果與Thompson and Wolf的結果吻合良好。
當兩個小孔處的強度相等并且時間相干性可以忽略時，這里就是這種情況，條紋可見度等于部分相干度。條紋可見度定義為：
(7)
其中Imax和Imin是條紋輻照度的最大和最小值。將FRED模型與部分相干度的理論值比較，使用中心條紋的最大和最小輻照度值，估計四個小孔間距每一個的條紋可見度。在圖14中紅色的X對應于估計的條紋可見度，這是基于圖15所示的干涉圖樣。正如圖14和15所示，基于FRED模型的近似值合理的靠近理論值。
圖14 衍射儀的部分相干度vs小孔間距。點代表在FRED模型使用的設置處的理論 值。紅色X對應于條紋可見度（等于 ），這是基于FRED圖（如圖15）計算得出。
圖15 四個不同小孔間距d在平面F上的條紋可見度，以及對應的部分相干度 和估計的條紋可見度V。
參考文獻
1. B.J. Thompson & E. Wolf, J. Opt. Soc. Amer., 47 (1957), p.895.
2. Born & Wolfe. Principle of Optics (6th Ed), Pergamon Press, Ch. 10, Sec. 4.3, p. 513
3. Hecht, Eugene. Optics (4th Ed), Addison Wesley, Ch 12.3, p. 571
