運用智能光線進行物理光學建模
Frank Wyrowski and Christian Hellmann
光線光學早在2000年以前就已經建立了光學建模和設計的基礎。而在最近的數十年中，光線追跡軟件的出現為我們帶來了解決光學和光子學問題的強大的光學設計技術。然而，隨著高級光源的開發和應用，微納結構加工工藝的成熟以及各種應用和光學相關功能的增強，光線光學的限制變得越來越明顯。因此，基于物理光學的光學建模技術變得必不可少，其也是未來光學設計軟件開發中順理成章的一步。這就要求我們將光線追跡推廣并將其與衍射建模技術聯合起來。
在光線光學中，我們使用源于光源的光線來描述光。數學上，光線由位置和方向矢量來表示。光線傳播通過介質，其光學“阻抗”通過折射率來描述。應用此概念，通過改變光線在空間的方向和位置矢量以此來表述光的傳播。光在均勻介質中沿直線傳播，不同介質間界面的折反定律和漸變折射率介質中的光線方程，所有這些光線光學的基本定律都可以從費馬定律中得出。簡而言之，即光線沿所需最少時間的路徑傳播�；谫M馬原理的光學建模構建了光線光學，從數學的觀點出發，由于光線模型是一個幾何概念，因此費馬原理同樣適用于幾何光學。
光線追跡軟件為我們提供了用以光線光學建模的數值工具。通過光學系統的3D光路是一個典型的通過光線光學研究方法獲得的物理量。通過它，我們可以進一步得出任意平面和表面處的點列圖，方向圖以及光程（Fig.1）。這為我們提供了特別是進行透鏡系統分析和優化所需的所有基本信息，其在光線追跡中大受歡迎。
光線追跡法同樣可應用于非成像光學。從而，我們需要考慮“能量相關的”物理量。如，輻照度。從光線光學來講，這種局部的能量物理量是與光線的密度和方向相關的。
Fig.1通過一個透鏡系統的光路。在同樣的系統中[4]可以看到電場分量。
從光線到物理光學
直到現在，所有的效應和量都能夠在幾何光學的框架中進行表示。下一步中，我們探索在兩種介質間界面的能量效應，例如，一個透鏡的表面。眾所周知，在界面處，一部分光被反射回去因此會造成透射部分能量的損失。4%是空氣和玻璃介質間透射能量損失的典型值。似乎我們可以直接將這個值對每條光線的作用考慮進去，進而減少在探測平面的探測能量。然而，在我們簡單的將此損失包含在光線追跡中之前，我們應該考慮其在光線光學，即費馬原理中的正確性。在介質間界面4%的能量損失符合費馬原理嗎？答案是否定的，由于此原理僅處理光程，因此我們無法在光線光學的框架中找到這種表面效應的合理解釋。在各種光學教科書中，你可以找到菲涅爾方程的推導，其給出了能量透射率T（透射比）和能量反射率R（反射比）的數學表達式[1]。此推導考慮的是理想電磁場平面波穿過兩種不同折射率介質間的理想平面界面。這個結論使用了在平面界面處電場和磁場分量是連續函數的事實。由此直接推導出菲涅爾方程。而理想平面波以及連續橫向場分量則來自于麥克斯韋方程組[2]。與完全基于費馬原理的幾何光學相比，我們是基于麥克斯韋方程組來考慮物理光學的。因此，應該依據物理光學來解釋在兩種介質界面處光能量的損失，并將其附加到光線追跡路徑，已經引出了一種聯合了光線和物理光學的算法。然而，當將傳統的光線追跡強行的與一種基于物理光學的效應，如表面處的菲涅爾效應或者光線透過光柵的傳輸，聯合起來的時候，我們會面臨一個典型且嚴重的問題。即，除了入射光角度很小的時候，菲涅爾效應都是與局部偏振相關的。因此，為了精確地包含菲涅爾效應，簡單的光線不夠，我們還需要其偏振信息。讀者可能會問道，那么光線追跡軟件是以什么標準來處理那些問題。事實上是其不可能精確地處理光滑的或者光柵類型的表面效應，并且也沒有包含偏振效應的模型。
傳統光線追跡有許多限制，上文提到的僅是我們想要去克服的其中一種。我們所需要的是使用物理光學來表征光線。接下來我們會討論從以幾何光學為基礎的傳統光線過渡到在物理光學框架中使用的智能光線。
幾何場追跡
Fig.2光線與光滑表面（左）、散射表面（中）和局部周期表面（右）的相互作用。使用局部平面波來表征光線。
Fig.2演示了一束光線與曲面的相互作用。如果我們以電磁場平面波來解釋一束局部光線且將界面局部地作為平面，那么可以局部地應用從物理光學所獲得的理想平面波與理想平面界面相互作用的結果[3]。因此，我們開發出了一種用于這種局部電磁場平面波概念的算法，即幾何場追跡[4]。此理論來自于《光學原理》[5]第三章所提出的結論，并且我們已經探討了在幾何場近似條件下使用幾何場追跡[4]來求解麥克斯韋方程組。對于局部平面波，使用這種近似的方法來求解麥克斯韋方程組，可以給出波前為主導的場的空間演化區域的精確解。相反，若一個場的尺寸沒有遠大于波長，則其開始受衍射主導且不能使用幾何場追跡來傳播該場，而需要使用一個衍射場追跡的方法來進行傳播。換句話說，一個場的散度可以用其波前的曲率（幾何場追跡）或者通過橫向和k空間維度間的不確定性原理的擴展（衍射場追跡）來控制�？臻g中的任意場都有其衍射的和幾何的主導區域，對于不同的區域需要使用合適的建模技術。如Fig.3，對于傳播經過其焦點的球面波。我們想著重的強調的是，我們已經應用了能夠自動測試幾何場近似有效性的算法以確保選取最合適的建模技術以用于傳播的各個區域。
Fig.3 透鏡系統出瞳處一個截錐球面波通過其焦點傳播的嚴格一維計算。下圖是上圖焦點區域的放大。球面波的f/#為20。盡管其是一個旁軸案例，但衍射主要在焦點區域。
在實際中通過追跡智能光線來實現幾何場追跡，當在VirtualLab Fusion軟件中使用時，可以獲得以下特性：
智能光線知道其位置處的所有電磁場信息，三個電場分量和三個磁場分量的振幅，相位以及偏振信息。
智能光線知道并記住光源平面中附近光線的波前。這通過一種合適的光線索引概念（波前索引）來實現。這個方法聯合了不同的橫向插值技術以用于所用的場量并將這些場量分配到一條光線上去。插值技術包含了樣條曲線插值和質心坐標網格插值。
伴隨智能光線的還有另外一個索引概念（空間相干索引），其能夠給出智能光線間的相干模式和非相干模式以及其組合模式。這使得我們可以完成對部分相干光的建模。特殊的情況也被包含其中，如完全相干光和非相干光。
為了包含顏色，時間相干和超短脈沖，我們將頻率分配給智能光線，使用一個索引概念來分辨穩態光和脈沖光的頻率分布（頻率索引）。
通過追跡智能光線我們獲得麥克斯韋方程組幾何場近似的解[4]。因此，智能光線將傳統光線追跡推廣，并用一種科學地可靠的方式將其結合到物理光學建模中。實際上，至關重要的是幾何場追跡獲得電磁場結果和傳統光線追跡獲得的結果，如點列圖的速度是一樣快的。
高精度的模擬透鏡系統可以主要依據幾何場追跡，由于透鏡系統旨在傳輸球面波，因此幾何場追跡近似是有效的。如Fig.4所示。智能光線追跡提供了位于最后一個透鏡后的所有電磁場信息。然而，如前面所討論的（見Fig.3），位于焦面區域的場不滿足幾何場近似。因此，使用智能光線在最后一個透鏡后獲得的場必須使用衍射技術傳播到焦點。在標準的光線追跡軟件中，這樣的一個過程或多或少的依賴于軟件包中的點擴散函數（PSF）和調制傳遞函數（MTF）計算工具來精確地完成。場追跡為此以及其他類似的建模任務提供了一種快速和可靠的物理光學建模策略。
Fig.4 上面一行顯示的是x方向偏振光經過Fig.1中透鏡系統的最后一個透鏡后的電場分量E = (Ex,Ey,Ez)。結果包含了一個從x到y方向較弱的串擾和一個中等的z分量。此結果是通過幾何場追跡法在近1秒內獲得的。下面一行是將上面所獲得的幾何場追跡結果衍射傳播到焦點所得到的結果。
模擬散射，光柵以及衍射透鏡
追跡通過兩種介質間的界面的智能光線為幾何近似的有效性提供了一個簡單的標準。由于智能光線知道其臨近光線的波前，界面后光線的相交很容易地就被自動探測到。相交光線表明波前被破壞了，因此幾何場近似不在有效（Fig.2，中圖）。很明顯地，當光學表面不是光滑且僅小范圍的進行調制則光線會相交，例如，帶劃痕的透鏡或者一個散射粗糙表面。此種情況下，光學界面后的光場需要一種衍射方法以用于繼續傳播。此時，我們完全得益于統一場追跡概念，其能夠讓我們結合不同的電磁場建模技術以用于系統不同的區域[6]。
讓我們仔細的看一下一個散射表面后的衍射傳播技術。一般情況下我們可以使用傅里葉分析來將理想平面波分解以生成不同的傳播積分來探討這種情況。當然，每個平面波可以通過幾何場追跡進行進一步傳播，通過一個物理光學理由和策略將一條輸入光線轉換成大量的輸出光線。如果我們假設光學界面至少是局部周期性的（Fig.2，右圖），例如，一個光柵或者衍射透鏡，依據光柵方程，那么僅在離散方向上才有平面波的傅里葉分析結果，如光柵級次。這就允許我們選擇那些感興趣的級次進行使用，如一個衍射透鏡的第一級次。通過幾何場追跡，就構建了一個光柵和衍射透鏡的物理光學建模的簡單說明：通過智能光線傳播場到光柵或者衍射透鏡，局部光柵效應使用電磁場分析，例如通過傅里葉模態法（FMM）[7]，然后由此產生的偏轉的局部電磁場平面波通過智能光線追跡進一步傳播。需要強調的是在模擬光柵和衍射透鏡時，與傳統光線光學的準確結合是無法實現的，而是要求智能光線提供必要的場信息以處理局部光柵效應。在VirtualLab Fusion中這項技術已經得到了應用，因此能夠使用它來設計衍射透鏡。然后，衍射透鏡的結構可以以各種格式導出，如用于光刻的GDSII文件。Fig.5演示了一個用光柵將光耦合進和耦合出一個波板以用于色彩混合。
Fig.5 通過一個光柵將RGB光源的光耦合進入一個波板，通過波板的全內反射進行傳播，并使用三個光柵將光耦合出波板以獲得一個部分重疊的混合色彩。本次模擬是通過FMM模擬光柵并使用幾何場追跡的方法來完成的。上圖顯示了光線傳播和幾何場追跡結果。
干涉和相干建模
Fig.6 Mach-Zehnder干涉儀對于一個時間部分相干光源的干涉圖案。此建模是使用幾何場追跡完成的，在PC上對超過100個波長進行計算，用時在1min以內。
Fig.7 對于一個不同厚度的薄膜，通過多重干涉所獲得的反射光的強度結果。使用光源為RGB白光。建模使用的是幾何場追跡，用時少于1min。
干涉和相干現象需要使用物理光學建模。因此在傳統光線追跡中自然無法包含這些現象。由于幾何場追跡是一種物理光學技術，因此包含了干涉和相干效應，并可對其進行研究。Fig.6顯示的使用綠色LED光源的Mach-Zehnder干涉儀的模擬結果。在干涉儀的臂上分別有一個玻璃平板和一個透鏡。對于完全地相干光，我們期望出現一個完美的對比度環形干涉圖案。然而，LED光源有大約30nm的帶寬，其會導致一個大約10um的時間相干長度。因此，干涉圖案必定會有一個不同的對比度。正如干涉儀的幾何場追跡所揭示的一樣。在Fig.7中，顯示的是一個RGB光源被不同厚度的油膜反射后的結果。這個建模是通過在薄膜結構中進行非序列幾何場追跡完成的。
綜述
從麥克斯韋方程組出發，將傳統光線追跡推廣并引出一種物理光學建模技術，我們將其稱之為幾何場追跡。幾何場追跡可以與包含了麥克斯韋方程組衍射求解器的衍射場追跡技術無縫的結合。幾何場追跡建模包含了如偏振，干涉，散斑和相干等物理光學效應，且與傳統光線追跡速度一樣快。用于光學軟件VirtualLab Fusion的所有技術同樣用于[8]中例子。
作者
Frank Wyrowski是Jena的Friedrich Schiller大學的技術物理教授以及應用計量物理組的負責人。在1999年他合作創辦了LightTrans公司，并于2014年聯合創辦了Wyrowski Photonics公司。他喜歡并致力于各種光學建模和設計任務，特別是物理光學領域。其研究成果源源不斷地為光學設計軟件VirtualLab Fusion的進一步開發做出貢獻。
Christian Hellmann是Wyrowski Photonics UG的CEO并且負責VirtualLab Fusion的開發工作。他代表Bosch股份有限公司在Horb的聯合教育大學完成他的計算機科學學習后加入到了LightTrans股份有限公司。在LightTrans公司其負責光學建模的編程和算法開發。從2013至2014年，其是LightTrans首席產品官。
參考文獻
[1] E. Hecht and A. Zajac. Optics. AddisonWesley, 1974
[2] J. D. Jackson. Classical electrodynamics. John Wiley & Sons, New York, 1975
[3] A.v. Pfeil, F. Wyrowski, A. Drauschke, and H. Aagedal. Analysis of optical elements with the local plane-interface approximation. Appl. Opt., 39(19):3304{3313, 2000.article
[4] F. Wyrowski, H. Zhong, S. Zhang, and C. Hellmann. Approximate solution of maxwells equations by geometrical optics. In D.G. Smith, F. Wyrowski, and A. Erdmann, editors, Optical Systems Design 2015:Computational Optics, volume 9360 of Proceedings of SPIE, page 963009, SPIE, Bellingham, WA, 2015, 2015
[5] M. Born and E. Wolf. Principles of optics .Cambridge University Press, 1999
[6] F. Wyrowski and M. Kuhn. Introduction to eld tracing. J. Mod. Optics, 58(5-6):449{466, March 2011
[7] J. Turunen. Diraction theory of microreliefgratings. In H. P. Herzig, editor, Microoptics elements, systems and applications, chapter 2, pages 31{52. Taylor & Francis, London, 1997
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